La subordonnée participiale
Définition :
La proposition subordonnée participiale est un type bien particulier de proposition subordonnée, assez similaire à la proposition infinitive.
Il s'agit d'une proposition :
- sans subordonnant ; 
- dont le noyau verbal est un participe ; 
- qui est autonome, c'est-à-dire ayant son propre sujet ; 
- qui a, dans la phrase, le rôle d'un complément circonstanciel (temps, cause, concession...) ; on parlera aussi de proposition participiale lorsqu'elle est complément d'objet direct d'un verbe introducteur ou d'un présentatif : "Me voici parlant tout seul" : "Me... parlant tout seul." est une proposition participiale. 
Il faut savoir reconnaître une subordonnée participiale
Pour qu'il y ait proposition participiale, il faut que tous les critères ci-dessus soient réunis.
Soit la phrase "La situation étant ce qu'elle est, il nous faut prendre une décision" :
- il n'y a pas de subordonnant ; 
- le noyau verbal est le participe présent "étant" ; 
- le sujet de la proposition, "La situation", est distinct de celui de la principale ("il") 
- la proposition participiale est : - soit sémantiquement équivalente à un complément circonstanciel de cause, ou à une subordonnée circonstancielle causale : "parce que la situation..." 
- soit sémantiquement équivalente à une infinitive, à une conjonctive ou à une relative : - "Me voici parlant tout seul." = "Me voici en train de parler tout seul." ou "Voici que je parle tout seul." ou "Me voici qui parle tout seul." - On remarquera que cette dernière équivalence est plus naturelle avec la 3ème personne : "Voici Pierre parlant tout seul." = "Voici Pierre qui parle tout seul." 
 
En revanche dans la phrase de La Fontaine :
« La cigale ayant chanté tout l'été / se trouva fort dépourvue / quand la bise fut venue »
le sujet du participe, "ayant chanté", est le même que celui du verbe "se trouva" : le participe n'est donc ici qu'une simple apposition au sujet "La cigale", et non pas le noyau d'une participiale.